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Euclidea geometria

“Il pudore della natura”, libera interpretazione del Teorema di Pitagora ad opera dell’artista Eugenio Carmi.
“Il pudore della natura”, libera interpretazione del Teorema di Pitagora ad opera dell’artista Eugenio Carmi.

Definizione

È l’insieme delle formalizzazioni logiche pertinenti ad un modello di spazio in cui valgono i cinque postulati (o assiomi) di Euclide, vale a dire i principi fondativi evidenti (basati sull’uso della riga e del compasso) di ogni successiva costruzione geometrica riguardante i tre enti dello spazio: punto, retta e piano.

Tutte le formulazioni della geometria euclidea, i teoremi che ne derivano e le relative conseguenze logiche, sono riferite ad uno spazio illimitato, omogeneo e misurabile, corrispondente a quello della nostra intuizione.

Euclide è filosofo e matematico greco la cui stessa esistenza è controversa. Si ritiene sia vissuto a cavallo tra il quarto e il terzo secolo a.C., e che sia stato discepolo di Platone. Nel suo Elementi sono raccolte e dimostrate rigorosamente tutte le nozioni geometriche cui i matematici prima di lui avevano dato solo spiegazioni intuitive e non consequenziali. D. Hilbert, agli inizi dello scorso secolo, ampliò e razionalizzò tutte le basi assiomatiche della geometria euclidea, introducendo anche il concetto di spazi aventi più di tre dimensioni.

Sviluppi

Oggi la geometria euclidea è posta in antitesi alle “geometrie non euclidee”, sostanzialmente quella ellittica e quella iperbolica, per le quali il quinto postulato, detto delle parallele, non è riconosciuto valido. Nella formulazione euclidea del quinto postulato si sostiene che, nel piano, se due rette tagliate da una trasversale formano angoli coniugati interni la cui somma è diversa da un angolo piatto, esse si incontreranno dalla parte dove la somma è minore. Se ne è voluta dedurre una conseguenza che negli Elementi non risulta mai esplicita, vale a dire che se l’angolo è piatto, e quindi le due rette sono parallele, queste si incontrano solo all’infinito (deduzione intuitivamente evidente, ma indimostrata in geometria euclidea) e che, perciò, da un punto esterno ad una retta si può condurre una sola retta ad essa parallela (formulazione di Playfair). Nelle geometrie ellittiche, nelle quali al piano si sostituisce una superficie chiusa del tipo della sfera o dell’ellissoide, due rette parallele si incontrano in due punti; nelle geometrie iperboliche, nelle quali al piano si sostituisce una superficie aperta del tipo dei paraboloidi ad una falda, due rette parallele non si incontrano mai.

Nel corso del XIX secolo si sviluppò la geometria proiettiva la qualeintrodusse negli studi geometrici i punti impropri, vale a dire i punti all’infinito (delle rette e dei piani) e che costituisce un’estensione della geometria euclidea nella quale può dirsi correttamente che due rette parallele si incontrano (intersecano) in un unico punto improprio, come pure che due piani paralleli si incontrano in un’unica retta impropria. Il punto improprio in cui si incontrano due rette parallele è la loro ‘direzione’ comune. La retta impropria in cui si incontrano due piani paralleli è la loro ‘giacitura’ comune. Nella geometria proiettiva i piani hanno una faccia sola: si pensi al nastro di Moebius. La geometria proiettiva è fondativa per la geometria descrittiva e segnatamente per la prospettiva; inoltre la sua formulazione permette di superare gli ostacoli logici che, secondo alcuni, vengono generati dal postulato euclideo delle rette parallele, presentando proiettivamente anch’esse, come tutte le altre rette, un punto comune.

Geometrie non euclidee furono concepite da B. Riemann, da N.I. Lobachevsky e da C.F. Gauss, ma il problema ha concretezze nuove da quando si è presentato il tema della curvatura relativistica dello spazio. L’intero spazio fisico tridimensionale pare incurvato (come la sfera rispetto al piano) in uno spazio quadridimensionale per azione di campi gravitazionali, in modo tale che un modello non euclideo può descriverne più compiutamente la geometria e può presentarsi più agevole nei calcoli connessi. Si tratta comunque di modelli le cui diverse morfologie, rispetto al modello mentale euclideo, si adattano alla conformazione dei campi energetici e spazio-temporali della fisica, soggetti alle curvature relativistiche, ma che sono pur sempre contenuti dentro il modello ideale euclideo, immateriale ed isotropo, unico a descrivere lo spazio del pensiero. Non può logicamente ignorarsi che l’esistenza di un universo curvo ha senso solo se lo si immerge in un modello di confronto che curvo non è (ma è “piatto”, in linguaggio geometrico), e che dunque non può essere altro che euclideo. La geometria euclidea è infatti una geometria della mente; curve possono essere la materia e l’energia in esso contenute, per effetto di campi gravitazionali atti a deformarle; di conseguenza curve possono essere le geometrie che ne descrivono le proprietà fisiche.

La possibilità offerta dal computer di rappresentare e studiare con facilità linee e superfici geometriche a curvatura molto complessa ha reso popolare l’uso di tali forme, come ad esempio le NURBS (acronimo che sta per Non Uniform Rational B-Splines) anche in architettura. Le geometrie non euclidee, infatti, sono diventate recentemente ispiratrici di forme che traspongono un generico concetto di “curvità” dello spazio nelle forme tridimensionali degli edifici. I volumi ne mostrano gli effetti con sorprendenti deformazioni figurative e l’intero quadro dei modelli ispiratori delle forme artistiche ne risente in modo vistoso. Ne soffre l’algida stereometria dello schema cartesiano abitualmente associato alla geometria euclidea e, nelle forme più oltranziste di sperimentazione non euclidea (ad es. la cyber-architettura), le curve e le superfici più involute, ripiegate, implose e sconvolte da dinamiche complesse assurgono ad emblema della fantastica geometria dello spazio entro cui dovrebbero essere ospitate e da cui si ritiene debbano essere influenzate. L’analogia tra i modelli spaziali contenenti e gli oggetti reali contenuti è solo metaforica, ma influisce su molta ricerca architettonica contemporanea, conferendole forti caratteri innovativi adeguati alle vistose trasformazioni del mondo contemporaneo. Molte opere di F.O. Gehry, P. Eisenman, G. Lynn, studio NOX e Naga Studio Architecture ne sono esempi paradigmatici.

Si registra oggi una tendenza a voler suggerire formulazioni teoriche sensazionali tese a superare la geometria euclidea, come se si trattasse per certi aspetti di una remora fastidiosa e superflua (e forse anche dannosa). Gli esiti di questi tentativi non hanno condotto a formulazioni scientifiche efficaci.

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