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Flessione

Definizione – Etimologia

Dal latino flectere, piegare. È una delle sollecitazioni fondamentali a cui sono soggette le strutture monodimensionali, travi, (e bidimensionali, ad esempio piastre) quando caricate con forze trasversali all’asse (o alla superficie media) della struttura. Tipicamente le travi con asse orizzontale sono soggette a flessione per la presenza di carichi gravitazionali verticali.

Generalità

Lo studio della flessione in una trave si fa risalire a Galileo il quale per primo si pose il problema dell’equilibrio e della resistenza di una trave a sbalzo (mensola) soggetta ad un carico gravitazionale all’estremità. Nell’impostazione formale della flessione semplice, si considera un solido di forma prismatica (solido di De Saint-Venant) soggetto nelle facce di estremità a due coppie uguali ed opposte, agenti in un piano ortogonale alla sezione trasversale del prisma stesso. Il momento di tali coppie è chiamato momento flettente. Nella trattazione tecnica, si assume che gli sforzi agenti nella sezione trasversale di una trave sollecitata dall’azione interna di momento flettente siano gli stessi di quelli che si sviluppano nel prisma caricato con le due coppie di estremità. Vale inoltre per tale prisma il postulato di De Saint-Venant (“forze staticamente equivalenti, ossia con la stessa risultante e lo stesso momento risultante, producono gli stessi effetti lungo tutto il solido, qualunque sia il loro modo di applicazione e di distribuzione, eccetto che nel luogo dove esse agiscono, e su porzioni vicine e piccolissime”), per cui lo stato di tensione e deformazione in una trave risulta completamente definito in funzione delle azioni interne (in particolare del momento flettente), qualunque siano le forze esterne da cui esse derivano.
Il prisma soggetto alle coppie di estremità, inizialmente ad asse rettilineo, tende ad incurvarsi, in modo che le fibre longitudinali risultino accorciate nella zona superiore e allungate in quella inferiore (in questo caso il momento si assume convenzionalmente con segno positivo). Per ragioni di continuità, si avranno all’interno delle fibre longitudinali che rimarranno indeformate. Nell’ipotesi, supportata dalle evidenze sperimentali, che la sezione trasversale del solido si mantenga piana, le fibre longitudinali indeformate appartengono a un piano la cui intersezione con la sezione trasversale definisce una retta, detta asse neutro. Se l’asse neutro risulta ortogonale all’asse di sollecitazione (dato dall’intersezione del piano della coppia agente con la sezione trasversale) si parla di flessione semplice retta, altrimenti di flessione deviata. La prima situazione si instaura quando l’asse di sollecitazione è parallelo ad un asse principale d’inerzia della sezione trasversale (se la sezione trasversale presenta un asse di simmetria, tale asse e la sua ortogonale sono assi di simmetria). Nel caso di sforzo normale eccentrico (in genere presso-flessione) si parla di flessione composta, corrispondente alla flessione semplice (retta o deviata) più lo sforzo assiale.
Se il comportamento del materiale costituente la trave è lineare elastico, nella sezione trasversale nascono degli sforzi normali proporzionali alle deformazioni, sforzi che hanno come risultante il momento delle coppie di estremità applicate. L’andamento di tali sforzi è quindi lineare con valore nullo in corrispondenza dell’asse neutro e valori massimi e minimi nelle fibre più distanti dall’asse neutro. Nella parte superiore di trave, in cui le fibre si accorciano, le tensioni sono di compressione (negative), nella parte inferiore, in cui le fibre si allungano, le tensioni sono di trazione. L’andamento delle tensioni normali σ prodotte dal momento flettente M è descritto dalla formula di Navier σz = M y/J, dove y è la distanza dall’asse neutro e J è il momento centrale d’inerzia della sezione rispetto all’asse neutro stesso.
Le deformazioni indotte dallo stato di sforzo hanno quindi una componente assiale pari a εz = σ/E e una trasversale pari a εx = εy = -νσ/E, dove E è il modulo di Young e ν è il coefficiente di Poisson del materiale elastico lineare omogeneo e isotropo. La configurazione che assume l’asse della trave inflessa è trattato nel lemma inflessione.
Nel caso di flessione deviata, il problema può essere trattato per materiali elastici lineari, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti, come somma di due flessioni rette. Il vettore momento delle coppie di estremità applicate viene scomposto in due momenti di flessione retta lungo gli assi principali d’inerzia yz della sezione trasversale. La tensione normale risultante è quindi data da σz = Mx y/Jx – My x/Jy.
In entrambe i casi di flessione semplice (retta o deviata) l’asse neutro è baricentrico. Una parte della trave quindi risulta soggetta a sforzi di trazione. Nel caso di materiali aventi trascurabile resistenza a trazione (come la muratura e i conglomerati) la sollecitazione di flessione non può essere equilibrata a meno di non utilizzare un materiale aggiuntivo che assorba gli sforzi di trazione (classico è il caso delle travi inflesse di cemento armato in cui gli sforzi di trazione sono assorbiti dalle barre d’armatura). La parte in trazione di una trave inflessa dipende dal verso del momento applicato. Tipicamente, nel caso di carichi gravitazionali, una trave appoggiata presenta fibre tese all’intradosso, mentre una trave incastrata (mensola) presenta fibre tese all’estradosso.
Facendo riferimento alla sopracitata formula di Navier, risulta evidente la forma ottimale da assegnare alla sezione trasversale di una trave inflessa. Infatti, per un assegnato momento flettente, si cerca di limitare il massimo sforzo σ in relazione alla resistenza del materiale costituente l’elemento stesso. Ragionando quindi a parità di area della sezione trasversale, risulta evidente che saranno ottimali le sezioni con momento d’inerzia J maggiore. Per questo motivo si cerca di concentrare il materiale nelle zone più lontane dall’asse neutro. Si veda il caso delle sezioni a doppio T o a H dei profilati metallici in cui il materiale è concentrato in due zone (ali) lontane dall’asse neutro e collegate da una sottile anima, oppure da sezioni trasversali rettangolari maggiormente sviluppate in altezza che in larghezza.
La sollecitazione di flessione retta è di gran lunga più frequente. Situazioni in cui le sezioni sono sollecitate da flessione deviata si incontrano quando la sezione non ha assi di simmetria quale una sezione ad L soggetta a carichi verticali (si veda una trave di bordo in cemento armato) o quando gli assi principali della sezione sono inclinate rispetto alla verticale (si veda il caso di arcarecci metallici o in legno con sezioni a semplice o doppia simmetria posti su capriate).

 

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