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Isostatici, sistemi

Esempio di capriata in legno e corrispondente schematizzazione in sistema isostatico.
Esempio di capriata in legno e corrispondente schematizzazione in sistema isostatico.

Generalità

Nelle strutture isostatiche i vincoli non sono “sovrabbondanti”, ma sono in numero, tipologia e disposizione tali da impedire i moti rigidi della struttura. Gli spostamenti consentiti nelle strutture isostatiche sono quelli dovuti, pertanto, alla sola deformabilità propria del materiale strutturale e a eventuali piccoli cedimenti dei vincoli. La risoluzione dei sistemi isostatici è possibile sulla base delle sole equazioni di equilibrio. L’equilibrio delle strutture isostatiche è basato sulle equazioni cardinali della statica, che rappresentano le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del corpo rigido libero. Nelle strutture si ha a che fare con sistemi vincolati (al terreno o comunque al mondo esterno), per cui nell’equilibrio della struttura intervengono le forze esterne intese come forze attive e forze reattive (o reazioni vincolari).
In forma vettoriale, l’equilibrio di un sistema isostatico consiste quindi nell’imporre l’uguaglianza a zero della risultante e del momento risultante rispetto ad un polo qualunque delle forze attive e reattive agenti. Le strutture isostatiche più semplici sono quelle costituite dalla trave (struttura monodimensionale descritta dall’asse geometrico e dalla sezione trasversale) singola su due appoggi e dai sistemi di travi. Il caso più frequente è quello dei sistemi di travi piane, in cui l’asse geometrico della struttura e le forze agenti appartengono ad un piano.
Nel caso di sistemi di travi piane, i vincoli che si incontrano sono classificati in base alla valenza v del vincolo stesso (corrispondente al numero di gradi di libertà impediti). L’incastro è un vincolo a valenza 3 (2 traslazioni e 1 rotazione impediti). I vincoli a valenza 2 sono: cerniera (2 traslazioni impedite) e pattino o manicotto (1 traslazione e 1 rotazione impedita). Il carrello (pendolo, biella o appoggio) è un vincolo semplice a valenza 1 (1 traslazione impedita). In corrispondenza dei gradi di libertà impediti nascono le forze reattive che rappresentano le componenti della reazione vincolare. Essendo, in genere, nella scienza delle costruzioni i vincoli assunti come bilateri il verso della reazione vincolare è a priori indeterminato. Dei vincoli passati in rassegna solo l’incastro è di per sé sufficiente a garantire l’equilibrio di una trave. Riguardo agli altri vincoli è necessario operare una opportuna combinazione per garantire l’equilibrio della struttura.
Condizione necessaria perché una trave singola piana sia isostatica è che la somma v delle valenze dei vincoli sia pari a 3, essendo 3 il numero di gradi di libertà della trave, trattata come corpo rigido. Estendendo il discorso ai sistemi piani di n travi la condizione necessaria di isostaticità è che v=g, dove g=3n è il numero di gradi di libertà del sistema. Nel conteggio della valenza dei vincoli intervengono ovviamente anche i vincoli interni che collegano fra loro le travi, impedendone componenti di spostamento relativo. La condizione v=g non è detto che sia sufficiente per l’isostaticità in quanto i vincoli possono risultare “mal disposti” e quindi non in grado di impedire il(i) moto(i) rigido(i) del sistema. Per valutare questo aspetto è necessario eseguire un’analisi cinematica della struttura o discutere il sistema di equazioni che governa il problema dell’equilibrio.

Sistemi isostatici

Per vdi strutture ipostatiche: in tale caso comunque siano disposti i vincoli esiste almeno un moto rigido (cinematismo) non impedito della struttura. Per queste strutture, l’equilibrio è possibile sono per particolari sistemi di forze attive. Semplificando la realtà fisica, ad esempio, la trave di un solaio in legno di un edificio in muratura può essere schematizzata come una trave rettilinea orizzontale su 2 appoggi (trascurando l’attrito legno-muratura) in corrispondenza delle estremità, risultando così libera di traslare orizzontalmente: in questo modo non possono essere equilibrate forze orizzontali dalle reazioni dei vincoli (la trave ipostatica potrà essere in equilibrio solo per sistemi di forze attive a risultante orizzontale nulla).

Risoluzione dei problemi di equilibrio

La risoluzione dell’equilibrio delle strutture isostatiche consiste nella determinazione delle reazioni vincolari esterne ed interne e nella determinazione delle sollecitazioni interne.
Le reazioni vincolari possono essere determinate tramite il cosiddetto metodo generale, che consiste nella scrittura (per i sistemi piani di travi) delle 3 equazioni di equilibrio per ciascuna trave su cui agiscono le forze attive e le reazioni vincolari esterne e interne (diagrammi di corpo libero). Si ottiene così un sistema lineare A•R=P di n equazioni in n incognite dove n è pari a g e a v, per i sistemi isostatici. Le incognite sono le reazioni vincolari (vettore R), mentre il vettore dei termini noti P è rappresentato dalle forze attive agenti. Se il determinante della matrice dei coefficienti A è diverso da zero il sistema è isostatico ed ammette una ed una sola soluzione; se tale determinante è uguale a zero il sistema è labile (nel caso in cui il rango di A è uguale al rango della matrice orlata A | P il sistema è in equilibrio per la particolare condizione di carico e le reazioni vincolari sono in numero pari a ∞n-r, dove r è il rango di A; questo è il caso di struttura labile in equilibrio per le particolari condizioni di carico). Non essendo noti a priori, i versi delle reazioni vincolari sono ipotizzati; se dalla risoluzione la reazione vincolare risulta positiva il verso ipotizzato è quello reale, altrimenti il verso reale risulta opposto a quello ipotizzato.
La discussione statica sul sistema A•R=P può essere affrontata dal punto di vista cinematico. Considerando che il moto rigido nel piano è caratterizzato da 2 traslazioni e 1 rotazione, gli spostamenti rigidi di ciascuna trave possono essere espressi in funzione degli spostamenti di un dato polo. Imponendo le condizioni di congruenza derivanti dai vincoli si ottiene un sistema B•V=0 lineare e omogeneo di n equazioni in n incognite (vettore degli spostamenti dei poli V), dove n è il numero degli spostamenti dei poli (3 spostamenti – 2 traslazioni e 1 rotazione – per ciascuna trave). Se considero gli stessi poli nell’analisi cinematica e nella scrittura delle equazioni di equilibrio alla rotazione si ha che A=BT, per cui la discussione sulla labilità della struttura può essere fatta in base alla matrice B. Questa caratteristica è chiamata dualità statico-cinematica.
In luogo del metodo generale per determinare le reazioni vincolari esterne, possono essere scritte le equazioni di equilibrio globale (in numero pari a 3) della struttura immaginando che i vincoli interni siano “solidificati”: per pareggiare il numero di incognite delle reazioni vincolari esterne sono necessarie delle equazioni ausiliarie corrispondenti ad equilibri parziali delle singole travi (ad esempio un equilibrio alla rotazione di una trave connessa al resto della struttura da una cerniera interna fatto rispetto alla cerniera stessa). Le reazioni interne possono poi essere determinate da ulteriori equilibri parziali in cui adesso compaiono le incognite delle reazioni vincolari interne.
Infine è possibile calcolare una componente di reazione vincolare tramite l’applicazione del principio dei lavori virtuali inteso come condizione necessaria e sufficiente di equilibrio. L’applicazione consiste nel rendere la struttura isostatica labile, riducendo la valenza del vincolo in corrispondenza della reazione incognita (ad esempio riducendo un incastro a cerniera metto in evidenza l’incognita momento d’incastro). Nella struttura labile, nasce un cinematismo i cui spostamenti per loro natura (infinitesimi e congruenti) possono essere riguardati come spostamenti virtuali: il lavoro dei carichi esterni (carichi attivi più la reazione incognita) deve quindi essere imposto uguale a zero.
Una volta determinate le reazioni vincolari (con i metodi visti sopra), si possono valutare per le strutture isostatiche in base a sole condizioni di equilibrio le sollecitazioni che attraversano la struttura. Il problema è quindi quello della ricerca delle forze che si trasmettono le due parti della struttura ottenute immaginando di sezionarla in un punto del suo asse geometrico. Poiché ogni parte della struttura deve essere in equilibrio, le forze mutue trasmesse attraverso la sezione immaginaria dalle due parti di struttura devono essere tali da garantire l’equilibrio delle due parti stesse. I valori globali (risultante e momento risultante) di queste forze sono dette azioni interne o caratteristiche della sollecitazione nelle travi. Per le travi questi valori globali sono riferiti al baricentro della sezione trasversale e scomposti lungo gli assi locali xy (assi centrali della sezione trasversale) e z (asse longitudinale). Nel caso piano, la risultante ha una componente lungo z chiamata azione assiale N e una componente nel piano della sezione trasversale chiamata taglio T; il momento risultante è normale al piano della struttura ed è chiamato momento flettente M. Le azioni interne per sistemi piani di travi sono quindi NTM. Si assumono positivi i valori di N di trazione e i valori di T che suggeriscono una rotazione oraria di un concio di trave. Il segno del momento M è convenzionale: è positivo il momento che tende le fibre assunte come fibre di riferimento.
Muovendo idealmente lungo l’asse geometrico della struttura la sezione immaginaria, si descrive come variano le azioni interne nella struttura. Questo andamento è rappresentato con equazioni in cui la variabile è la coordinata lungo l’asse geometrico o con diagrammi detti delle azioni interne che descrivono in modo espressivo lo stato di sollecitazione che percorre la struttura. Tali diagrammi sono tracciati rispetto all’asse geometrico della struttura, disponendoli da una parte o dall’altra rispetto a tale asse in base al segno dell’azione interna (per il momento, di norma, si traccia il diagramma sempre dalla parte delle fibre tese; ad esempio se il momento è positivo il diagramma starà dalla parte delle fibre di riferimento).
Nelle strutture isostatiche, indipendentemente dal livello di sollecitazione e dalle caratteristiche del materiale costituente, le reazioni vincolari e le azioni interne, essendo determinate sulla base di equazioni di equilibrio lineari, sono in proporzione alle forze attive esterne. Inoltre vale il principio di sovrapposizione degli effetti, di utilità pratica per risolvere situazioni di carico complesse a partire da condizioni elementari (la cui soluzione è disponibile in manuali specialistici).
Esempi di strutture isostatiche sono frequenti nelle costruzioni. Citiamo il caso delle strutture reticolari in cui nei nodi sono presenti cerniere e i carichi esterni sono solo nodali (le singole travi – aste – si comportano come bielle soggette a trazione o compressione). Per verificare l’isostaticità di una struttura reticolare si verifica la condizione 2n=a+v, dove n è il numero di nodi, a il numero di aste e v la valenza dei vincoli esterni. Per trovare le azioni interne (azione assiale N) nelle strutture reticolari, si utilizza il metodo dell’equilibrio nodale (che si presta anche ad una rappresentazione grafica) e il metodo delle sezioni di Ritter.

Esempi

Per la trave singola, gli schemi isostatici frequenti sono quello della mensola (incastro + estremo libero) e della trave appoggiata (cerniera + carrello). Nel caso di travi continue si cita lo schema della trave di un impalcato da ponte con selle Gerber (schematizzate da vincolo di cerniera interna), introdotte nel 1866. Nelle travi ad asse curvo, citiamo il caso dell’arco isostatico a 3 cerniere (si osserva che quando le 3 cerniere sono allineate la struttura è labile anche se v=g). Lo schema di arco isostatico è usato anche nella trattazione di Mery per gli archi iperstatici, introducendo delle cerniere in corrispondenza di 3 punti (2 alle reni all’intradosso e 1 in chiave all’estradosso) in cui la curva delle pressioni interseca il terzo medio.

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti e di travi ad asse rettilineo, il problema flessionale e di taglio è disaccoppiato da quello assiale. Pertanto si possono incontrare situazioni in cui la struttura è isostatica solo rispetto all’azione assiale. Quest’ultimo caso è significativo, ad esempio, per il problema del carico critico di travi compresse.

Al di là del caso più rilevante dei sistemi di travi, si hanno strutture isostatiche in generale quando le reazioni vincolari e le azioni interne sono determinate dal solo equilibrio. Si cita il caso della fune e delle volte in regime membranale.

Le strutture isostatiche, al contrario di quelle ipostatiche, sono equilibrate per qualunque condizione di carico. La stessa cosa vale per le strutture iperstatiche in cui v>g, in cui però le equazioni di equilibrio non sono sufficienti a risolvere la struttura.

La condizione di isostaticità, non è mai soddisfatta nella realtà fisica, ma è ne un’utilissima approssimazione che consente di eseguire calcoli semplici in cui le azioni non dipendono dalla deformabilità della struttura. Inoltre strutture isostatiche vengono intenzionalmente progettate per sopportare, ad esempio, piccoli cedimenti dei vincoli esterni o variazioni termiche. Infatti nelle strutture isostatiche l’equilibrio è inalterato in presenza di spostamenti anelastici o di deformazioni termiche. Ciò costituisce un aspetto di pregio per le strutture isostatiche, le quali quindi sono in grado di sopportare cedimenti fondali, variazioni termiche o altre deformazioni anelastiche senza che si generino sollecitazioni nel materiale.

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