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Ortogonalità 

Definizione – Etimologia

Dal greco orthos (dritto, ritto, giusto) e gonía (angolo, giuntura), letteralmente ortogonale indica una connessione ad angolo retto, e ortogonalità la condizione di essere ortogonale. Rispetto al sinonimo perpendicolarità il vocabolo assume un significato teorico più generale.

Il principio di ortogonalità è definito nelle prime proposizioni degli Elementi di Euclide (III secolo a.C.), e successivamente legato al parallelismo nel V postulato, laddove parallele si dicono due linee secate da una terza secondo angoli retti. Giova ricordare che le moderne geometrie non-euclidee basate sull’ipotesi di spazi curvi si fondano precisamente sulla negazione di tale postulato.

La condizione di ortogonalità è concretamente definita dal rapporto fra l’estensione orizzontale della superficie terrestre e l’azione verticale della forza di gravità, specularmente interpretato dagli archetipi della “piramide” e del “trilite”, fondamenti tettonici dell’architettura da cui, nel corso dei secoli, si sviluppano ulteriori sistemi costruttivi e si sperimentano materiali e modalità edificatorie per la copertura di grandi luci (volte, strutture reticolari, ponti), per il superamento di dislivelli (rampe e scale), e per varie altre ragioni (torri, edifici alti), trasfigurando il vincolo gravitazionale in linguaggio architettonico attraverso la dimensione tecnica. L’ortogonalità è pure alla base dei dispositivi soggetti a rotazione, dagli infissi ai ponti levatoi, alle macchine impiegate nella costruzione quali carrucole e gru, generandosi il moto rotatorio in piani ortogonali all’asse di rotazione. Nella tessitura muraria si dicono “ortóstati” i blocchi o conci esterni, ortogonali ai “diátoni” posti invece nello spessore del muro.

Generalità

L’ortogonalità interviene in modo diffuso nella composizione e nella progettazione architettonica ad ogni scala, dal dettaglio d’interni alla dimensione urbanistica e del paesaggio. Fra le più note correnti ispirate a questo principio, si può ricordare lo Stile Perpendicolare del gotico architettonico inglese fra il XIV secolo e la prima metà del XVI, fra i cui esiti si annoverano le cappelle reali di Windsor e Westminster e, in tempi più recenti, molta architettura del Novecento fedele a un certo orientamento razionalista, e segnatamente quella di ispirazione neoplastica promossa da Theo Van Doesburg (1883-1931), in cui l’ortogonalità assume dichiarato valore di statuto metodologico e formale, divenendo effettivo precetto teorico e stilistico.

Una singolare negazione programmatica è invece perseguita da Juan Caramuel de Lobkowitz (1606-1682), il quale sulla base di considerazioni teologiche teorizza il primato dell’architettura “obliqua” su quella “recta”, illustrandone i principi in un trattato e applicandone le regole nella costruzione della facciata concava della cattedrale di Vigevano. Con riferimento all’Urbanistica, la consapevole adozione del più antico modello ortogonale come principio ordinatore dello spazio abitato rimonta almeno a Ippodamo di Mileto (VI-V secolo a.C.), assumendo nei “castra” dell’antica Roma un più profondo significato nel Cardo e nel Decumano, gli assi principali di fondazione, ortogonali e orientati secondo i punti cardinali, rispettivamente nord-sud ed est-ovest, mentre la riquadratura del suolo si ripropone a maglie più larghe nel paesaggio mediante la “centuriatio”, al duplice scopo di circoscriverne superfici contabilizzabili e facilitare la mobilità e l’urbanizzazione delle aree, principio ancora largamente adottato in ogni parte del mondo. La massima estensione del principio di ortogonalità alla demarcazione del territorio si riscontra infine nei reticoli di riferimento adottati nelle rappresentazioni cartografiche e nella mappatura del globo terrestre per meridiani e paralleli.

L’ortogonalità interviene anche nelle procedure di misurazione degli spazi. Fin dall’antichità sia i geometri greci che gli astronomi egizi che gli agrimensori romani si servivano di strumenti di misura basati su sistemi di aste tra loro ortogonali quali riferimenti nella valutazione degli angoli. Anche gli attuali dispositivi di rilievo topografico (topografia) terrestre assumono l’angolo retto fra direzione orizzontale (orizzonte) e verticale (zenit/azimut) come riferimento di posizione stabile nel prelievo dei dati metrici. Analoga importanza assume l’individuazione di allineamenti, o di piani livellati, verticali e orizzontali, nel rilevamento architettonico.

Per astrazione e generalizzazione lo stesso spazio tridimensionale è convenzionalmente riferito a un sistema di tre assi orientati, mutuamente ortogonali, con origine comune (assi coordinati) e ai tre piani, ancora ortogonali (piani coordinati), da essi individuati. Implicitamente e parzialmente adottato già nell’antichità, il modello è per la prima volta codificato da René Descartes (1596-1640), da cui le denominazioni “riferimento cartesiano” e “sistema di assi cartesiani”. In base a questo modello un punto dello spazio resta identificato, metricamente e graficamente, da tre coordinate sugli assi del riferimento, ciascuna registrando la distanza (positiva o negativa) del punto dato dal piano ortogonale al proprio asse. La convenzione resta valida nel piano, laddove le coordinate di un punto ne misurano su ciascuno dei due assi la distanza dall’altro. Consentendo di riferire quantità tipicamente algebriche a enti tipicamente geometrici, il modello cartesiano collega in modo nuovo Algebra e Geometria ponendo le basi della Geometria Analitica. In linea teorica, il principio resta valido a prescindere dalla ortogonalità fra gli assi, potendosi egualmente determinare le coordinate su un riferimento obliquo, tuttavia il modello ortogonale, oltre a contraddistinguersi come il più intuitivo, consente utili semplificazioni anche sotto il profilo del calcolo analitico. Per la medesima ragione nella prassi si impiega sovente un doppio registro, costituito da terne ortogonali “locali”, riferite a singoli elementi, e da un sistema “globale” cui tutti i riferimenti locali sono infine riportati mediante “cambio di coordinate”.

Il principio di ortogonalità regola anche alcune forme della rappresentazione architettonica, segnatamente le “proiezioni ortogonali”, l’“assonometria ortogonale” e le “proiezioni quotate”, nelle quali la direzione di proiezione e il piano iconico risultano sempre mutuamente ortogonali. Il medesimo principio interviene tuttavia sia in queste che nelle altre forme della rappresentazione, nella soluzione di determinati problemi metrici. In particolare nell’omologia di ribaltamento, laddove la direzione associata alla rotazione di un piano è data dall’ortogonale alla bisettrice dell’angolo che esso forma col quadro, nella valutazione di distanze e pendenze, nella definizione del contorno apparente di superfici curve e delle relative proiezioni d’ombra, nonché nell’identificazione e nel controllo di direzioni e giaciture ortogonali (antipolari) nelle proiezioni prospettiche e in fotogrammetria elementare.

Dal punto di vista espressivo, il criterio di ortogonalità regola pure la struttura di molte rappresentazioni simboliche quali grafici, diagrammi, stereogrammi e pittogrammi.

L’ortogonalità rientra inoltre in molte branche della matematica e in altri campi del sapere, dall’algebra lineare alla statistica, definendovi categorie logiche, criteri operativi, gruppi di trasformazioni, tipologie di spazi.

Con riferimento all’elaborazione formale, terreno privilegiato dell’architettura, sviluppato in termini matriciali e riferito agli spazi vettoriali, il principio di ortogonalità è largamente impiegato nella computer graphics, sia nella definizione strutturale degli ambienti di elaborazione che nella determinazione dei luoghi geometrici delle configurazioni, specie in relazione a curve e superfici complesse, oltre che nel controllo dei dispositivi di output grafico e di manufacturing.

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