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Quadrato

I due teoremi di Euclide e il Teorema di Pitagora.
I due teoremi di Euclide e il Teorema di Pitagora.

Definizione

Il quadrato è un quadrilatero convesso regolare che ha tutti i lati uguali, tutti gli angoli interni retti e, di conseguenza, ha le due coppie di lati opposti parallele. Il quadrato è un parallelogramma speciale: essendo equiangolo può essere considerato come un particolare rettangolo ed essendo equilatero può essere considerato un come rombo. Le sue due diagonali sono uguali, si intersecano ad angolo retto, si dividono reciprocamente per metà e sono anche le bisettrici degli angoli interni del quadrato.

Il quadrato in geometria

La regolarità della figura geometrica è confermata anche dalla presenza di quattro assi di simmetria: due passano per le due coppie di vertici opposti e due coincidono con gli assi relativi alle due coppie di lati opposti. Il quadrato è anche una figura bicentrica: il punto di intersezione delle due diagonali è il centro del cerchio inscritto e del cerchio circoscritto al quadrato. A questo proposito è interessante notare che il quadrato circoscritto a un determinato cerchio ha l’area doppia del quadrato inscritto nel medesimo cerchio. Insieme al triangolo equilatero e all’esagono regolare, il quadrato è la terza e ultima figura geometrica “regolare” con la quale è possibile ricoprire (tassellare) il piano.
Sempre in ambito geometrico il quadrato è la figura di riferimento per i due teoremi di Euclide e per il teorema di Pitagora. Nei tre teoremi si esaminano le relazioni che intercorrono tra i cateti, l’ipotenusa e l’altezza relativa all’ipotenusa dei triangoli rettangoli. Il primo teorema di Euclide asserisce che “in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa” mentre nel secondo “ in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente come lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa”. Nel teorema attribuito a Pitagora, peraltro già noto ai Babilonesi almeno come enunciato, si stabilisce una fondamentale relazione tra i cateti e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo: l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Il quadrato nella matematica

In matematica il termine quadrato riferito a una numero qualsiasi sta a indicare la sua moltiplicazione per se stesso, operazione questa denominata anche come elevamento alla seconda potenza (n2). Se il numero è un intero diverso da 0 il suo quadrato. è sempre un numero naturale; se il numero è un numero reale allora il quadrato è sempre maggiore o uguale a 0 dato che il prodotto tra valori positivi o negativi con lo stesso segno è sempre positivo.

Il quadrato magico

In questo caso il termine quadrato si riferisce a una tabella formata da n righe e da n colonne contenente i primi n2 numeri interi positivi disposti in modo tale che la somma degli n numeri presenti in ciascuna delle n righe orizzontali, ovvero delle n colonne verticali e delle due diagonali principali dia sempre lo stesso risultato (costante magica del quadrato). Un quadrato magico formato da n numeri a partire da 1 è talvolta denominato come quadrato magico “normale”. Utilizzati originariamente come simboli religiosi o come strumenti per la divinazione, quando hanno perso i significati originali sono stati considerati come curiosità, con l’eccezione di alcuni matematici occidentali che li hanno studiati come problemi di teoria dei numeri.
L’unico quadrato magico di ordine tre era già noto nell’antica Cina con il nome “Lo Shu”. Questo è anche un quadrato associativo perché è costante e uguale a 10 la somma di tutte le coppie di numeri disposte simmetricamente rispetto alla casella centrale. Per quanto si riferisce al numero di possibili quadrato magici di ordine quattro il calcolo è stato fatto dal matematico francese Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) e pubblicato postumo, insieme ad altri suoi lavori, dalla Accademia Reale delle Scienze nel 1693.
Noto tra i quadrati magici di ordine quattro è il cosiddetto quadrato magico di Albrecht Dürer (1471- 1528): è presente nella incisione Melencolia I che si trova nelle raccolte della Anhaltische Gemäldegalerie a Dessau in Germania. Sulla parete dell’edificio in secondo piano è presente un quadrato di 16 numeri. In questo caso il quadrato di Dürer ha una costante pari a 34; i numeri 15 e 14 che appaiono nelle due caselle centrali dell’ultima riga della tabella indicano anche la data di incisione, appunto il 1514. Questo è un particolare quadrato magico che assume anche il nome di gnomone perché ha la proprietà aggiuntiva che le somme relative a ciascuno dei quattro quadranti che formano la tabella complessiva, così come la somma delle quattro cifre presenti nel quadrante centrale dà sempre il valore 34. In aggiunta è sempre 17 la somma di tutte le coppie di numeri disposte simmetricamente rispetto al centro collocate sia negli angoli della tabella generale sia del quadrante centrale.

Il significato simbolico del quadrato

In ambito simbolico il quadrato è una delle figure geometriche fondamentali. Metafora della Terra esso simboleggia anche l’Universo Creato. Tra le figure geometriche, il quadrato e il Cerchio si richiamano continuamente: il quadrato rappresenta lo Spazio e il Cerchio (o la Spirale) rappresenta il Tempo.
La chiesa romanica a pianta quadrata, specialmente la chiesa cistercense, si richiama alle misure dell’Uomo:
la necessità di mantenere la simmetria e la proporzione si ritrova nel ripetersi regolare del quadrato nella pianta di queste costruzioni. Il significato del quadrato utilizzato come pianta di molti spazi sacri in civiltà diverse è legato a quest’idea di perfezione. Nel “ Carnet de Villard de Honnecourt” esiste una pianta di una chiesa cistercense del XII secolo, tracciata ad quadratum. ( Folio 28 – Plan d’église cistercienne – Chœur de l’église de Cambrai, …). L’abbazia cistercense era costruita generalmente su rapporti aritmetico-geometrici costanti basati sul numero tre e sul quattro: la forma base è il modulo ad quadratum che viene usato piccolo nelle navate laterali e, grande, nella navata centrale e nell’incrocio tra questa e il transetto.
Una chiesa, ad quadratum si inscrive in un rettangolo: la sua lunghezza si compone di tre quadrati e la sua larghezza di due quadrati ciascuno modulato in base a una griglia 4 x 4: in altri termini la pianta della chiesa cistercense ha dodici moduli quadrati uguali nel senso della lunghezza e otto nel senso della larghezza. Le chiese cosiddette cistercensi “quadrate” sono numerose in tutta Europa, Italia compresa.

Bibliografia

Enriques F., Amaldi U., Elementi di Geometria (parte II), Bologna, 1956; Enriques F., Amaldi U., Elementi di Geometria, Bologna, 1945; Lawlor R., Sacred Geometry, London, 1982

Sitografia

http://classes.bnf.fr/villard/feuillet/index.htm; http://mathworld.wolfram.com/

Albrecht Dürer, dettaglio del quadrato magico dalla incisione "Melancolia I".

Albrecht Dürer, dettaglio del quadrato magico dalla incisione “Melancolia I”.

 

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