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Spirale

Costruzione della spirale di Archimede.
Costruzione della spirale di Archimede.

Definizione

Una spirale è una curva aperta generata da un punto P che ruota intorno a un’origine fissa (“polo” della spirale), mentre aumenta o diminuisce la sua distanza da essa in base a una determinata legge. In altri termini la spirale è la traiettoria percorsa da un punto P che si muove di moto rettilineo su una semiretta di origine O che, a sua volta, ruota attorno a questo punto; OP è chiamato “raggio vettore ” della spirale; “spira” è la parte di curva corrispondente a una rotazione di 360° del raggio vettore mentre “passo” della spirale è la distanza, costante o variabile, che intercorre tra due spire successive.

Spirale di Archimede

Questa curva (conosciuta anche come spirale aritmetica), scoperta dall’astronomo e matematico Conone di Alessandria (280-220 a.C), venne ripresa e studiata anche da Archimede (287-212) attorno al 225 a.C. nel suo trattato Sulle spirali composto da ventotto proposizioni.
Archimede, come numerosissimi altri studiosi greci, si occupò dei tre famosi problemi della geometria greca: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo. Lo studio che Archimede fece della spirale si poneva all’interno di questo filone volto proprio a trovare le soluzioni dei tre problemi classici. La spirale gli consentì di risolvere due dei tre problemi (quadratura del cerchio e trisezione dell’angolo): la soluzione venne ottenuta utilizzando un arco di spirale e non soltanto la riga e il compasso come la regola imponeva di operare. La spirale di Archimede, che ha come equazione in coordinate polari ρ=aθ dove a è una costante, è dunque la traiettoria percorsa da un punto P che si muove di moto rettilineo con velocità costante e contemporaneamente ruota, sempre con velocità angolare costante, intorno a un polo, che risulta essere un punto della spirale. Questi due moti uniformi, tra loro combinati, generano un curva le cui spire sono tra loro equidistanti.

Applicazione

Quando in meccanica si vuole imprimere un movimento rettilineo alternato e uniforme a un’asta comandata da una camma, è necessario che l’asta stessa si muova con spostamenti che siano proporzionali alla rotazione regolare della camma cui è collegata. Proprio per ottenere questo risultato la spirale di Archimede viene utilizzata per definire il profilo complessivo di una camma che consenta di trasformare il suo movimento angolare uniforme in un movimento lineare altrettanto uniforme. In questo caso il profilo della camma è formato da due archi di spirale di Archimede, uniti tra loro a forma di cardioide, in modo da trasferire all’asta un moto alternato lineare che, partendo da una posizione iniziale, ritorni al punto di partenza dopo un giro completo della camma. La rotazione uniforme di quest’ultima attorno al suo centro, con una velocità angolare costante, si traduce, grazie al suo particolare profilo, in un moto uniforme lineare dell’asta.

Spirale logaritmica o equiangolare

Questa curva, studiata da Cartesio (1596-1650), venne ulteriormente indagata da Evangelista Torricelli (1607-1647) il quale, servendosi dei metodi infinitesimali appresi da Galileo (1564-1642) e dal Cavalieri (1598-1647), riuscì a calcolare, proprio sulla spirale logaritmica, la prima rettificazione moderna di una curva. Le particolari caratteristiche geometriche di questa spirale vennero ulteriormente evidenziate, una cinquantina d’anni più tardi rispetto agli studi di Cartesio, dagli studi e ricerche di Jakob (Jacques) Bernoulli (1654-1705) il quale, affascinato dalle sue particolari proprietà, la definì spira mirabilis.
Nella spirale logaritmica, che ha come equazione in coordinate polari log ρ=aθ, il punto P si muove di moto rettilineo su una semiretta di origine O in modo che il logaritmo della sua distanza dal polo O sia proporzionale all’angolo di rotazione della stessa semiretta attorno al polo.
Le principali caratteristiche della spirale logaritmica sono: una qualsiasi tangente in un punto della curva forma sempre lo stesso angolo con il raggio vettore della spirale che intersechi la curva nel punto di tangenza. Una generica retta che passi per il polo della spirale incrocia le successive spire della curva secondo distanze che sono tra loro in progressione geometrica: questo la differenzia totalmente dalla spirale di Archimede nella quale, come si è visto, le spire sono equidistanti. Se un generico arco della spirale logaritmica viene ingrandito o ridotto in base a un fattore predeterminato, il risultato della trasformazione è del tutto congruente con una diversa parte della medesima spirale. La spirale logaritmica ha un punto asintotico nel polo che essa non raggiunge mai.

Spirale iperbolica

Un punto P genera una spirale iperbolica quando una semiretta ruota intorno a un polo O e contemporaneamente P si muove di moto rettilineo su di essa in modo che, in ogni istante, la sua distanza da O sia inversamente proporzionale all’angolo di rotazione della semiretta. Anche per la spirale iperbolica, che ha come equazione in coordinate polari ρ=a/θ, la curva si avvicina al polo O senza mai raggiungerlo: O è quindi un punto asintotico della spirale. La distanza tra le spire aumenta in modo repentino e la curva, man mano che si allontana dal polo, tende a rettificarsi.

Volute

Le volute sono un tema decorativo presente in numerosi stili architettonici: si presentano come un nastro a profilo variabile avvolto a spirale attorno a un punto centrale detto occhio della voluta.
Le volute, ad esempio, sono la componente caratterizzante il capitello dell’ordine ionico: in epoca rinascimentale la voluta ionica è stata analizzata da parte di numerosi studiosi che si sono preoccupati di codificare un metodo per poterla tracciare correttamente, avendo come base sia il trattato di Vitruvio sia i rilievi eseguiti sui capitelli degli edifici di epoca classica. Nel 1485 Leon Battista Alberti propone il disegno della voluta ionica in base a quanto scritto da Vitruvio utilizzando però solo due centri di curvatura.
All’Alberti seguono via via il Cesariano (1521), Sebastiano Serlio (1537) Albrecht Dürer, il Vignola e altri. Talvolta le soluzioni geometriche proposte da alcuni di questi autori sono geometricamente molto complesse e quindi di difficile realizzazione pratica oppure portano a raccordi tra i vari archi della spirale direttrice che non sono corretti. Nei capitelli, tuttavia, questi errori legati alla geometria della costruzione non possono essere percepiti perché nascosti dalle inevitabili irregolarità connesse alla realizzazione pratica della voluta.

Bibliografia

Boyer C. B., Storia della Matematica, Milano, 1980; Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry, New York, 1969; Lawrence J. D., A Catalog of Special Plane Curves, New York, 1972; Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge, 1967; Migliari R., Geometria dei modelli, Roma, 2003.

Spirale logaritmica inscritta in una serie di rettangoli aurei: i quadranti consentono una buona approssimazione per il disegno di queste spirali.

Spirale logaritmica inscritta in una serie di rettangoli aurei: i quadranti consentono una buona approssimazione per il disegno di queste spirali.

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