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Stabilità

Le tre qualità  dell'equilibrio descritte dalla sfera pesante vincolata ad una superficie.
Le tre qualità dell'equilibrio descritte dalla sfera pesante vincolata ad una superficie.

Definizione – Etimologia

Dal latino stare: rimanere fermo, immobile. Il termine indica, in modo generale la capacità di una costruzione, o di un elemento costruttivo, di ben resistere ai pesi propri e alle azioni esterne senza movimenti o deformazioni di rilievo. In scienza delle costruzioni, il termine indica sia una qualità dell’equilibrio (equilibrio stabile) di un sistema meccanico, che l’insieme degli studi che di tale qualità si occupano.

Generalità

Tre sono le condizioni di equilibrio possibile: stabile, instabile e indifferente. Sulla base dei concetti classici di meccanica, come instabile viene indicata quella configurazione di equilibrio dalla quale il sistema tende ad allontanarsi per ogni perturbazione, comunque piccola, applicata al sistema stesso; come stabile quella alla quale il sistema perturbato tende a ritornare.
Nel caso di sistemi meccanici rigidi la condizione di stabilità dell’equilibrio dipende dalla configurazione geometrica, di vincolo e di carico del sistema. Risulta invece indipendente dall’entità dei carichi agenti. Un esempio chiarificatore, che illustra efficacemente le diverse configurazioni di equilibrio, è il caso della sfera pesante vincolata a una superficie. La configurazione di equilibrio stabile, come è facile intuire, è quella corrispondente a un minimo di tale superficie, mentre quella di equilibrio instabile corrisponde a un massimo della superficie. Una configurazione di equilibrio indifferente è invece caratterizzata da una tangente orizzontale della superficie nel punto di equilibrio.
Per valutare la stabilità dell’equilibrio delle strutture, si fa in genere riferimento a sistemi deformabili, in cui la stabilità dell’equilibrio dipende dall’entità dei carichi agenti. Si ha cioè, per i sistemi deformabili in una configurazione di equilibrio, al crescere dell’entità dei carichi agenti, il passaggio da un equilibrio stabile a uno instabile. Il passaggio avviene per un valore di carico, detto carico critico, in corrispondenza del quale l’equilibrio è indifferente.
La stabilità delle strutture è talvolta studiata tramite schematizzazione con sistemi discreti a elasticità concentrata, in cui la configurazione della struttura è descritta da un numero finito di gradi di libertà. L’asta rigida incernierata alla base con carico verticale in sommità e molla rotazionale è un esempio classico di sistema a un grado di libertà nel quale sono evidenziabili le caratteristiche sopraddette del carico critico (Pcr = k/L). Tale valore è ottenuto considerando, secondo un criterio statico, l’equilibrio nella configurazione deformata (equilibrio variato): la condizione critica si ha uguagliando il momento stabilizzante (dovuto alla molla interna) con il momento instabilizzante (dovuto al carico esterno). Chiaramente se k = 0 il sistema diventa rigido e la condizione di stabilità non dipende dal valore di P (si ha equilibrio stabile solo se  = 90°). Il carico critico corrisponde anche alla condizione per cui l’energia potenziale totale del sistema cessa di essere definita positiva in corrispondenza della configurazione di equilibrio (criterio energetico).
Nella maggior parte dei casi di elementi strutturali, la stabilità dell’equilibrio deve essere saggiata trattando la struttura come sistema continuo. Il caso di maggiore rilevanza è quello dell’instabilità flessionale di aste soggetta a una forza assiale di compressione (carico di punta). Il corrispondente carico critico (o carico di Eulero) risulta pari a , dove E è il modulo di Young del materiale, J è il momento centrale d’inerzia minimo della sezione e L è la lunghezza della trave, per il caso della trave con vincolata con cerniera e appoggio. In corrispondenza del carico critico si ha uno svergolamento caratterizzato da una inflessione dell’asse della trave descritto da una semi-sinusoide. Il risultato è di grande rilevanza in quanto può essere generalizzato a aste compresse comunque vincolate se, nella formula di Eulero, si sostituisce a L la lunghezza di libera inflessione a L0 che dipende da i vincoli di estremità (es. L0 = 2L per la mensola compressa) ed è la distanza fra due punti di flesso successivi nella deformata.
Il problema del carico critico non si esaurisce con il carico di punta. Si hanno instabilità flesso-torsionali in travi alte (con rapporto altezza-base elevato) soggette a flessione (formula di Prandtl per la trave a sezione rettangolare inflessa).
Altre situazioni strutturali in cui è rilevante il problema della stabilità sono quello delle piastre e dei gusci compressi. In tutti questi casi, il carico critico corrisponde a una situazione in cui la struttura perde completamente rigidezza nei confronti del modo critico e l’equilibrio può sussistere in configurazioni adiacenti a quella iniziale. Tale condizione critica può anche essere riguardata come la condizione per cui in presenza di imperfezioni comunque piccole (di carico, geometriche ecc.) gli spostamenti della struttura tendono a crescere indefinitamente quando il carico tende al valore critico.
La formula di Eulero ha dei limiti di validità in conseguenza del fatto che il materiale non ha un comportamento perfettamente elastico. Considerando il caso del materiale elasto-plastico si ottiene una curva di stabilità (carico di collasso in funzione della snellezza, pari alla lunghezza di libera inflessione divisa per il raggio d’inerzia della sezione) con collasso per plasticizzazione per snellezze inferiori a un valore limite (aste tozze) e con collasso per instabilità per snellezze superiori a tale valore (aste snelle). Nel caso reale in cui intervengono le imperfezioni la transizione è graduale. Quando la stabilità dell’equilibrio è valutata al di fuori del comportamento elastico dei materiali, il problema è complesso e non lineare. Ad esempio ci sono vari metodi per valutare il carico critico in funzione del livello di sforzo di compressione nelle colonne in calcestruzzo armato.
Tutti i casi di instabilità sopracitati sono di tipo euleriano, cioè caratterizzate da biforcazione dell’equilibrio. Questi però non esauriscono la casistica dell’instabilità delle strutture. Si cita il caso dell’instabilità a scatto degli archi ribassati, in cui all’aumentare del carico si ha una progressiva perdita di rigidezza (anche in assenza di imperfezioni) fino a un valore nullo.
Il problema della stabilità delle strutture iniziò a essere tecnicamente rilevante nell’Ottocento con l’avvento delle costruzioni in ferro, per le quali la snellezza diventò un fattore dominante. Fino ad allora, infatti, le dimensioni delle strutture (prevalentemente in muratura, pietra o legno) erano tali da scongiurare problemi di instabilità. Vale la pena ricordare i problemi connessi con la costruzione del ponte ferroviario a sezione tubolare Britannia, in cui divenne evidente per i progettisti il problema dell’instabilità in elementi compressi metallici.
Dal punto di vista fisico-matematico la stabilità è tuttavia un problema ben più antico. Già Leonardo (1452-1519) si era posto il problema della resistenza allo svergolamento di verghe compresse al variare della loro lunghezza. Ma si deve a Eulero (1707-1783) il merito, in parte da condividere con Daniele Bernoulli (1700-1782) per l’intenso scambio epistolare fra i due riguardo ad aspetti “preparatori” al problema del carico di punta sulle curve elastiche, di aver determinato con una formulazione rigorosa il carico critico, carico che, a dimostrazione del fatto che non v’era per l’epoca un interesse applicativo, rimase dimenticato nonostante fosse suffragato dalle risultanze sperimentali di van Musschenbroek (1693-1761).
La stabilità è un problema dominante nelle costruzioni metalliche: colonne compresse e presso-inflesse di strutture a telaio, instabilità per sbandamento di telai, puntoni compressi in travature reticolari, svergolamento flesso-torsionale di travi alte, serbatoi e siloanche rilevante per certe strutture in calcestruzzo armato molto snelle, pilastri, e per travi alte.

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