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Polarità

Il piano polare π di un punto P rispetto alla quadrica Q.
Il piano polare π di un punto P rispetto alla quadrica Q.

Definizione – Etimologia

Da polare, sec. XVIII,  polo; dal latino pŏlu(m), a sua volta dal gr. pólos, perno, asse (della terra), da avvicinare a pélesthai, girare, di origine indoeuropea.

In geometra proiettiva la polarità o sistema polare è una corrispondenza biunivoca tra i punti e le rette (i piani) del piano (dello spazio) di una conica (di una quadrica), dove un punto e una retta (un piano) sono corrispondenti e sono polo e retta polare (piano polare) rispetto alla conica fondamentale (alla quadrica). Data una conica qualunque c e un punto P del suo piano è definita una polarità rispetto a una conica. La retta p si dice polare del punto P rispetto alla conica. Il punto P si dice polo della retta p rispetto alla conica. La relazione di polarità fra polo e polare è reciproca, cioè se un punto P ha per polare la retta p, questa ha per polo P. Dato un punto P nel piano della conica c, la retta p può essere individuata nei seguenti modi: i punti diagonali di un quadrangolo completo inscritto nella conica c e avente un punto diagonale in P; i coniugati armonici di P rispetto alle coppie di punti della conica di una retta secante passante per P; i punti intersezione delle tangenti alla conica c nelle coppie di punti appartenenti ad una retta secante per P. Per la dualità, data una retta p del piano di una conica c, il polo P è determinato (Polo).

Se il punto P è fuori della conica, la polare sarà secante la conica e viceversa. Quando il punto P appartiene alla conica, la polare è la tangente alla conica nel punto P. La polare di un punto esterno alla conica c è la retta congiungente i punti di contatto delle tangenti a c rispetto al punto P.

Due punti sono coniugati rispetto alla polarità, quando la polare dell’uno passa per l’altro e viceversa. In modo duale due rette sono coniugate rispetto alla conica fondamentale. Su una retta non tangente alla conica esistono infinite coppie di punti coniugati rispetto alla conica. Le infinite coppie formano un’involuzione che può essere di tre tipi: su una retta esterna alla conica si ha un’involuzione ellittica; su una retta secante, un’involuzione iperbolica; infine su una retta tangente, un’involuzione degenere parabolica. Un’involuzione è una proiettività in cui due elementi omologhi qualsiasi si corrispondono in doppio modo.

Un triangolo si dice autopolare o autorecipreco rispetto ad una conica, quando un vertice ha per polare il lato opposto. Esistono infiniti triangolo autopolari rispetto ad una conica.

Tutte le proprietà della polarità piana rispetto ad una conica si possono trasportare nello spazio e si ottiene la polarità rispetto ad una quadrica. Il piano polare p di P rispetto alla quadrica Q contiene i punti di contatto delle possibili tangenti (e piani tangenti) da P alla superficie Q.

 

Esempi

Dato un iperboloide ellittico Q e un punto P è determinato il piano polare p (vedi figura). Il punto P è esterno alla quadrica. Allora è possibile individuare il piano polare come contorno apparente della superficie dal punto P. L’iperbole sezione, contorno apparente, individua il piano polare p. Questo è formato dalle infinite tangenti e piani tangenti che possono essere tracciati dal punto P alla quadrica Q. Il piano polare p può essere individuato ugualmente sezionando la superficie con due piani qualsiasi passanti per il punto P. Questi piani individuano una polarità piana rispetto alla conica sezione c. Si costruisce la retta polare p del punto P rispetto alla conica sezione c. Le due rette polari così trovate individuano il piano polare p.

 

Bibliografia

Severi F., Geometria Proiettiva, Firenze, 1926.

 

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