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Quadriche

Le superfici quadriche rigate.
Le superfici quadriche rigate.

Definizione-Etimologia

Da quadro, sec. XIX, dal latino quădru(m) (quattro). Le quadriche sono superfici algebriche di secondo ordine. Fra gli esempi più noti si possono riportare: il cono, il cilindro, la sfera, l’ellissoide, l’iperboloide a due falde, il paraboloide ellittico, l’iperboloide a una falda e il paraboloide iperbolico.

Generalità

Le quadriche possiedono un centro (proprio o improrio) e tre assi principali che a coppie formano i piani principali di simmetria ortogonale. Una retta può incontrare una quadriche in due punti distinti (secante), in un punto (tangente) o in nessun punto (esterna).
Le quadriche possono essere distinte in base al comportamento di un piano che può esser esterno, secante o tangente. Perciò esistono quadriche a punti ellittici, le quali non contengono rette e sono dette anche quadriche non rigate: per esempio la sfera. Un piano rispetto alle quadriche ellittiche può essere esterno; può essere secante secondo una conica; infine può essere tangente e avere solo un punto di contatto.
Le quadriche a punti iperbolici, invece, sono le quadriche rigate, cioè le superficie che contengono infinite rette distribuite secondo due famiglie, e sono di due tipi: l’iperboloide ad una falda e il paraboloide iperbolico. Un piano rispetto ad una quadriche rigata sarà sempre secante o tangente e non sarà mai esterno. Il piano è secante le quadriche quando incontra tutte le rette secondo una conica. Invece è tangente quando incontra la quadriche secondo due rette e il punto di contatto è il punto in comune alle due rette.
I cilindri e i coni sono quadriche a punti parabolici. Queste quadriche sono formate anch’esse da infinite generatrici rette ma il piano tangente incontra la superficie secondo una retta e i punti di contatto sono gli infiniti punti della generatrice retta. Sono le uniche superfici quadriche sviluppabili, vale a dire che possono essere distese nel piano senza strappi o sovrapposizioni, limitatamente a regioni opportune.
Le quadriche possono essere classificate secondo la curvatura Gaussiana. Perciò le quadriche ellittiche hanno curvatura positiva; le quadriche iperboliche hanno curvatura negativa. Infine le quadriche sviluppabili hanno curvatura uguale a zero.

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